ANALISI MATEMATICA I
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2018/2019
- Docente
- ANDREA CORLI
- Crediti formativi
- 12
- Periodo didattico
- Primo semestre (primi anni)
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- L’obiettivo principale del corso è di fornire agli studenti gli strumenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale sia dal punto di vista teorico che pratico; il corso prevede inoltre l’insegnamento di un software di base per alcune semplici elaborazioni su computer dei concetti insegnati.
Le principali conoscenze acquisite saranno le seguenti. Nozioni di base sugli insiemi numerici, con particolare riferimento ai numeri reali. Successioni e serie numeriche, la nozione di limite. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale: le derivate e il loro calcolo, studio del grafico di una funzione. Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale: integrali secondo Riemann e generalizzati.
Le principali abilità acquisite saranno le seguenti. Formulare un ragionamento logico e deduttivo di base, con particolare riferimento alla matematica in generale. Acquisire una certa dimestichezza nel calcolo differenziale ed integrale, basata sulla soluzione di semplici problemi.
Comprendere alcuni semplici dimostrazioni matematiche di risultati importanti, seguendo in particolare il loro sviluppo logico.
Utilizzare un software specifico per la risoluzione di semplici problemi di calcolo differenziale ed integrale. Prerequisiti
- Il corso non richiede nessuna particolare conoscenza che non sia già stata trattata nei corsi di matematica della scuola superiore. Tra queste avranno particolare importanza le seguenti.
Equazioni e sistemi di equazioni algebriche.
Disequazioni e sistemi di disequazioni.
Funzioni matematiche elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro proprietà. Contenuti del corso
- Il corso prevede 120 ore di insegnamento, comprensive di esercitazioni (ca 30 ore) ed elaborazioni al computer (ca 12-16 ore). I principali contenuti sono:
- Numeri naturali, interi, razionali, reali. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme.
- Successioni. Limite di una successione. Convergenza delle successioni limitate. Successioni divergenti, successioni indeterminate. La successione geometrica. Operazioni fondamentali con i limiti. Teorema della permanenza del segno, di ordinamento, del confronto. Il numero e come limite di successione*. Successioni asintotiche. La formula di Stirling.
- Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. La serie geometrica e la sua somma; serie armonica, serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. La serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta, criterio di Leibniz*.
- Funzioni di una variabile reale. Definizione di funzione, dominio, immagine, grafico. Funzioni limitate, simmetriche, monotòne, periodiche. Funzioni elementari. Operazioni sui grafici. Funzioni composte, funzioni invertibili, funzioni inverse e loro grafici.
- Limiti di funzioni e continuità. Limite di funzioni; unicità del limite. Limiti di funzioni e limiti di successioni. Operazioni con i limiti di funzioni, teoremi della permanenza del segno, di confronto. Cambiamento di variabili nei limiti. Limiti notevoli. Funzioni continue. Funzioni discontinue. Asintoti. Classi di funzioni continue. Teorema degli zeri delle funzioni continue*. Teorema di Weierstrass*. Teorema dei valori intermedi. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
- Calcolo differenziale. Derivata di una funzione in un punto. erivate di funzioni elementari. Punti di non derivabilità. Punti di massimo, minimo. Teorema di Fermat, teorema del valor medio (Lagrange), caratterizzazione della monotonìa. Punti stazionari, di flesso. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla in un intervallo. Ricerca dei massimi, minimi di una funzione. La derivata seconda: convessità e concavità di una funzione, punti di flesso. Convessità e concavità per corde e tangenti*. Studio degli estremi di una funzione tramite la derivata seconda. Studio del grafico di una funzione. I teoremi di de l'Hospital. Polinomi di Taylor e MacLaurin.
-Calcolo integrale. Definizione di integrale di Riemann per funzioni continue. Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale e suo significato geometrico. Primitiva di una funzione; caratterizzazione delle primitive in un intervallo. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive delle funzioni elementari. Integrazione per linearità, per sostituzione, per parti. Tecniche di integrazione. La funzione integrale; il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni le cui primitive non si esprimono tramite funzioni elementari; la gaussiana, integrali ellittici. Integrale di funzioni discontinue. Integrazione generalizzata di funzioni continue non limitate o definite in intervalli illimitati. Criteri di convergenza per integrali generalizzati.
Esercitazioni con MATLAB. Introduzione alla struttura del programma, inserimento matrici e vettori, prime operazioni. Successioni e serie: script files, grafica 2d, comandi cumsum e cumprod, ciclo for e istruzione condizionale if. Funzioni: operatori logici e relazionali, grafici in scala logaritmica, comandi polival e polyfit.
Functions: creazione di una function, ciclo while, comandi fzero e fminbnd. Derivate: comando diff per il calcolo della derivata numerica, calcolo di derivate simboliche. Integrali: integrazione numerica tramite punti casuali e attraverso il metodo dei trapezi (comando trapz), calcolo della funzione integrale, comando int per il calcolo simbolico di integrali. Introduzione al toolbox simbolico Metodi didattici
- Il corso è organizzato nel seguente modo.
Lezioni teoriche in aula su tutti gli argomenti del corso (eccettuato Matlab). Le lezioni saranno filmate e disponibili in streaming.
Esercitazioni in aula: risoluzione di esercizi assegnati precedentemente e che gli studenti sono richiesti di (provare di) risolvere a casa. Si cercherà di stimolare gli studenti a lavorare in gruppo.
Esercitazioni su computer presso il laboratorio di informatica, con lezioni dedicate a Matlab. Gli studenti hanno libero accesso al laboratorio (quando non occupato per altre attività) per potersi esercitare singolarmente o in gruppo su computer. Modalità di verifica dell'apprendimento
- Per verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi elencati sopra si procederà come segue.
Saranno effettuate due prove parziali scritte durante il corso, una a metà (fine ottobre, inizio novembre) e una alla fine (di solito nei primi giorni di gennaio). Esse verteranno unicamente sul programma svolto durante la prima o la seconda parte, rispettivamente. L’esame finale consta di due parti, una scritta e una orale; il voto finale tiene conto di entrambe le parti. Uno studente è ammesso alla seconda prova parziale se nella prima ha avuto un voto maggiore o uguale a 9/30 (tutti i voti sono espressi in trentesimi).
La parte scritta consiste di una prova scritta, della durata di due ore. Essa consta tipicamente di otto esercizi, di cui uno su Matlab da risolversi senza l’ausilio del computer (le prove parziali intermedie si svolgono analogamente). In tale prova non è consentito l’uso di quaderni, libri, macchine calcolatrici, smart phone, ecc…; presentarsi muniti di un documento di identità. Gli studenti del primo anno di corso sono ammessi alla parte orale se riportano nella prova scritta un voto maggiore o uguale a 12; gli studenti del secondo anno compreso e successivi sono ammessi indipendentemente dal voto riportato nella prova scritta. Una prova scritta è valida solo nell’ambito del periodo di esami (gennaio-febbraio, giugno-luglio, settembre) in cui è svolta; in caso di più prove scritte si considera il voto più alto. La prova scritta può essere sostituita dalle due prove parziali che si terranno durante il corso, con svolgimento come sopra; la media aritmetica delle prove parziali viene assunta come voto della prova scritta. Gli elaborati scritti possono naturalmente essere visionati in orario di ricevimento; il docente si impegna a portarli anche in occasione della prima prova orale seguente al relativo scritto (o a lezione, per quanto riguarda le prove intermedie).
La parte orale consiste in un colloquio che verte prevalentemente sugli argomenti teorici del corso (conoscenza dei risultati teorici principali, connessioni tra le varie parti di programmi, dimostrazioni dei risultati provati a lezione) e in una esercitazione pratica (su computer) sul software usato nelle esercitazioni (Matlab o Octave). Il voto finale è approssimabile ad una media della prova scritta e della prova orale. Gli studenti sono fortemente incoraggiati a presentarsi con un computer su cui sia installato tale software.
La prova orale deve essere di norma sostenuta nell'ambito della stessa sessione d'esami della prova scritta; agli studenti di anni successivi e agli studenti fuori corso è concesso di sostenere la prova orale anche fuori dalle normali sessioni di esami, purché questo avvenga prima della sessione successiva alla prova scritta. Testi di riferimento
- M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa: Analisi Matematica I, Zanichelli 2008.
S. Salsa e A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli 2011.
B. Demidovic: Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 1999.
G. Jensen: Using MatLab in Calculus, Prentice-Hall, 2000.
Testi suggeriti per ulteriori approfondimenti:
E. Giusti: Analisi Matematica I, Bollati-Boringhieri, 2002.
W. J. Palm III: MatLab - Un'introduzione per gli ingegneri, Mc-Graw-Hill, 2011.
A questi testi si aggiungono le seguenti dispense fornite dal docente, tutte liberamente scaricabili dal sito di ateneo:
appunti del docente sul corso;
testi delle esercitazioni;
testi d’esami risolti;
testi d’esame relativi a Matlab con soluzioni;
raccolta generale dei testi d’esame degli ultimi anni;
appunti su Matlab.
