ANALISI MATEMATICA II
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2015/2016
- Docente
- DAMIANO FOSCHI
- Crediti formativi
- 9
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Il corso prosegue il percorso di formazione e approfondimento sugli strumenti di calcolo della teoria dell'analisi matematica iniziato nel corso di Analisi Matematica 1.
L'obiettivo principale del corso consiste nell'insegnare agli studenti a comprendere e utilizzare le tecniche elementari del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e ad affrontare lo studio di semplici equazioni differenziali ordinarie. L'acquisizione di questi strumenti matematici è ritenuta indispensabile per poter affrontare proficuamente i successivi insegnamenti di carattere tecnico.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
* teoria introduttiva allo studio delle equazioni differenziali ordinarie scalari, in particolare equazioni del primo ordine a variabili separabili ed equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti;
* teoria della convergenza puntuale e uniforme e proprietà di passaggio al limite per successioni e serie di funzioni, in particolare serie di potenze, serie di Taylor e serie di Fourier;
* calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali: derivabilità e differenziabilità, ricerca di punti critici e estremali;
* geometria differenziale elementare per curve e superfici regolari nel piano e nello spazio;
* definizione e metodi di calcolo dell'integrale di Riemann per funzioni di più variabili;
* definizione e metodi di calcolo per integrali curvilinei e integrali di superficie, applicazioni dei teoremi di Gauss-Green e di Stokes.
* teoria introduttiva alla misura e all'integrale di Lebesgue e sue proprietà di passaggio al limite.
Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno quelle di saper:
* risolvere equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili, o ad esse riconducibili;
* risolvere equazioni differenziali lineari scalari a coefficienti costanti di tipo omogeneo e di tipo non omogeneo;
* studiare la convergenza puntuale e uniforme per successioni e serie di funzioni, in particolare serie di potenze;
* calcolare la serie di Taylor di una funzione differenziabile e la serie di Fourier di una funzione periodica;
* calcolare derivate parziali e approssimazioni del primo ordine per funzioni differenziabili di più variabili reali;
* determinare e classificare i punti critici liberi e vincolati di una funzione di più variabili reali;
* determinare i valori estremali di una funzione di più variabili su un dato dominio;
* determinare i versori tangente, normale e binormale, e i valori di curvatura e torsione di una curva regolare parametrizzata;
* determinare il piano tangente e il versore normale di una superficie regolare parametrizzata;
* calcolare integrali doppi e tripli, utilizzando vari sistemi di coordinate;
* calcolare integrali curvilinei di prima e seconda specie, integrali di superficie e integrali di flusso. Prerequisiti
- Tutti i contenuti del corso di Analisi Matematica 1 sono propedeutici. Tra cui in particolare:
* Funzioni elementari.
* Calcolo differenziale ed integrale in una variabile. * Successioni e serie numeriche.
Inoltre è richiesta la conoscenza di:
* Algebra lineare elementare: applicazioni lineari, matrici, determinanti, prodotto vettoriale e prodotto scalare.
* Geometria elementare: rette, piani, coniche. Contenuti del corso
- - Equazioni differenziali ordinarie: equazioni a variabili separabili, equazioni lineari del primo ordine, equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Problema di Cauchy e teoremi di esistenza e unicità della soluzione.
- Successioni e serie di funzioni: convergenza uniforme e proprietà di passaggio al limite, serie di potenze, serie di Taylor.
- Funzioni di più variabili reali: continuità, derivate parziali, gradiente, derivate direzionali, differenziabilità, punti critici, matrice Hessiana, matrice Jacobiana. Teorema della funzione implicita in R^2 e in R^3, metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Massimi e minimi relativi e vincolati
- Curve regolari: lunghezza di una curva, parametrizzazione per lunghezza d'arco, versori tangente, normale e binormale, curvatura e torsione. Superfici regolari in R^3, piano tangente, versore normale, area di una superficie, superfici orientabili.
- Integrale di Riemann di funzioni di più variabili: integrali doppi e tripli, formula del cambio di coordinate, integrali in coordinate polari, cilindriche, sferiche, integrali generalizzati. Superficie solidi di rotazione, teoremi di Guldino.
- Integrali curvilinei di prima specie. Campi vettoriali e forme differenziali, integrale curvilineo di seconda specie, lavoro di un campo vettoriale lungo una curva. Forme differenziali chiuse, forme differenziali esatte, campi conservativi, potenziali, insiemi semplicemente connessi. Formule di Green e teoremi di Gauss-Green nel piano. Integrali di superficie, integrali di flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore in R^3.
- Misura e integrale di Lebesgue, insiemi misurabili, proprietà di sigma-additività. Insiemi di misura nulla e proprietà valide quasi ovunque. Proprietà di passaggio al limite per l'integrale di Lebesgue: teorema della convergenza monotona, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata. Approssimazione con retta dei minimi quadrati per funzioni di quadrato sommabile.
- Serie di Fourier: funzioni periodiche, funzioni armoniche elementari, polinomi trigonometrici, coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, funzioni regolari a tratti, nuclei di Dirichlet, prodotto di convoluzione, convergenza puntuale della serie di Fourier al valore regolarizzato della funzione. Metodi didattici
- Lezioni in aula con presentazione alla lavagna degli aspetti teorici, delle applicazioni e di esercizi.
Appuntamenti periodici di tutorato con svolgimento di esercizi e ripasso degli argomenti svolti. Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite un esame composto da una prova scritta e un colloquio orale.
- Nella prova scritta allo studente è richiesto di risolvere alcuni problemi ed esercizi relativi agli argomenti svolti: equazioni differenziali, successioni e serie di funzioni, calcolo differenziale per funzioni di più variabili, ricerca di massimi e minimi di funzioni di più variabili, integrali doppi e tripli, integrali curvilinei, integrali di superficie, serie di Fourier. Il tempo previsto per la prova scritta è di circa 3 ore. Non è consentito consultare testi, utilizzare PC, tablet o smartphone. Lo studente può comunque consultare un foglio (A4) da lui manoscritto in cui può appuntarsi ciò che vuole, tale foglio va consegnato insieme allo svolgimento della prova. Lo studente può utilizzare calcolatrici scientifiche tascabili purché non abbiamo capacità grafiche e non siano programmabili. Allo svolgimento della prova scritta è assegnato un punteggio espresso in trentesimi. Per superare la prova e poter accedere al colloquio orale è necessario ottenere un punteggio di almeno 15 punti.
- Nel colloquio orale allo studente sarà richiesto di presentare qualche aspetto di contenuti svolti durante il corso, illustrando alcune definizioni, esempi, proprietà, formule, teoremi, dimostrazioni, o applicazioni. Più che la conoscenza mnemonica degli argomenti, si vuole valutare la comprensione logica dei concetti, la precisione e il rigore del linguaggio matematico usato per descriverli e la capacità di cogliere la relazione tra gli aspetti astratti e le applicazioni concrete. Il tempo previsto per la prova orale è di circa 30 minuti. Se l'esito del colloquio non è ritenuto sufficiente lo studente potrà riprovarlo in una data successiva senza necessariamente dover ripetere la prova scritta.
Il voto finale, espresso in trentesimi, viene proposto al termine del colloquio orale e terrà conto di tutti gli elementi che permettono al docente di valutare la preparazione dello studente: la partecipazione attiva alle lezioni e/o al tutorato, la correttezza e completezza dello svolgimento della prova scritta, la qualità dell'esposizione nel colloquio orale. Testi di riferimento
- Testo di riferimento:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
Testi consigliati per approfondimento:
V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi Matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale: 2 (Apogeo)
E. Giusti: Analisi Matematica II (Boringhieri)
E. Giusti: Esercizi e complementi di Analisi Matematica II (Boringhieri)
W. Rudin: Principi di Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
G. De Marco: Analisi Matematica II (Zanichelli )
G. De Marco: Esercizi di analisi Matematica II (Zanichelli)
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica II (Zanichelli)
E.H. Lieb, M. Loss ; Analysis (American Mathematical Society)
E. Stein, R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton University Press)
