ANALISI MATEMATICA II
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2017/2018
- Docente
- MASSIMILIANO DANIELE ROSINI
- Crediti formativi
- 9
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Il corso prosegue il percorso di formazione e approfondimento sugli strumenti di calcolo della teoria dell'analisi matematica iniziato nel corso di Analisi Matematica 1.
L'obiettivo principale del corso consiste nell'insegnare agli studenti a comprendere e utilizzare le tecniche elementari del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e ad affrontare lo studio di semplici equazioni differenziali ordinarie. L'acquisizione di questi strumenti matematici è ritenuta indispensabile per poter affrontare proficuamente i successivi insegnamenti di carattere tecnico.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
* teoria introduttiva allo studio delle equazioni differenziali ordinarie scalari, in particolare equazioni del primo ordine a variabili separabili ed equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti;
* teoria della convergenza puntuale e uniforme e proprietà di passaggio al limite per successioni e serie di funzioni, in particolare serie di potenze, serie di Taylor e serie di Fourier;
* calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali: derivabilità e differenziabilità, ricerca di punti critici e estremali;
* geometria differenziale elementare per curve e superfici regolari nel piano e nello spazio;
* definizione e metodi di calcolo dell'integrale di Riemann per funzioni di più variabili;
* definizione e metodi di calcolo per integrali curvilinei e integrali di superficie, applicazioni dei teoremi di Gauss-Green e di Stokes.
* teoria introduttiva alla misura e all'integrale di Lebesgue e sue proprietà di passaggio al limite.
Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno quelle di saper:
* risolvere equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili, o ad esse riconducibili;
* risolvere equazioni differenziali lineari scalari a coefficienti costanti di tipo omogeneo e di tipo non omogeneo;
* studiare la convergenza puntuale e uniforme per successioni e serie di funzioni, in particolare serie di potenze;
* calcolare la serie di Taylor di una funzione differenziabile e la serie di Fourier di una funzione periodica;
* calcolare derivate parziali e approssimazioni del primo ordine per funzioni differenziabili di più variabili reali;
* determinare e classificare i punti critici liberi e vincolati di una funzione di più variabili reali;
* determinare i valori estremali di una funzione di più variabili su un dato dominio;
* determinare i versori tangente, normale e binormale, e i valori di curvatura e torsione di una curva regolare parametrizzata;
* determinare il piano tangente e il versore normale di una superficie regolare parametrizzata;
* calcolare integrali doppi e tripli, utilizzando vari sistemi di coordinate;
* calcolare integrali curvilinei di prima e seconda specie, integrali di superficie e integrali di flusso. Prerequisiti
- Tutti i contenuti del corso di Analisi Matematica 1 sono propedeutici. Tra cui in particolare:
* Funzioni elementari.
* Calcolo differenziale ed integrale in una variabile. * Successioni e serie numeriche.
Inoltre è richiesta la conoscenza di:
* Algebra lineare elementare: applicazioni lineari, matrici, determinanti, prodotto vettoriale e prodotto scalare.
* Geometria elementare: rette, piani, coniche. Contenuti del corso
- - Equazioni differenziali ordinarie: equazioni a variabili separabili, equazioni lineari del primo ordine, equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Problema di Cauchy e teoremi di esistenza e unicità della soluzione.
- Successioni e serie di funzioni: convergenza uniforme e proprietà di passaggio al limite, serie di potenze, serie di Taylor.
- Funzioni di più variabili reali: continuità, derivate parziali, gradiente, derivate direzionali, differenziabilità, punti critici, matrice Hessiana, matrice Jacobiana. Teorema della funzione implicita in R^2 e in R^3, metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Massimi e minimi relativi e vincolati
- Curve regolari: lunghezza di una curva, parametrizzazione per lunghezza d'arco, versori tangente, normale e binormale, curvatura e torsione. Superfici regolari in R^3, piano tangente, versore normale, area di una superficie, superfici orientabili.
- Integrale di Riemann di funzioni di più variabili: integrali doppi e tripli, formula del cambio di coordinate, integrali in coordinate polari, cilindriche, sferiche, integrali generalizzati. Superficie solidi di rotazione, teoremi di Guldino.
- Integrali curvilinei di prima specie. Campi vettoriali e forme differenziali, integrale curvilineo di seconda specie, lavoro di un campo vettoriale lungo una curva. Forme differenziali chiuse, forme differenziali esatte, campi conservativi, potenziali, insiemi semplicemente connessi. Formule di Green e teoremi di Gauss-Green nel piano. Integrali di superficie, integrali di flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore in R^3.
- Misura e integrale di Lebesgue, insiemi misurabili, proprietà di sigma-additività. Insiemi di misura nulla e proprietà valide quasi ovunque. Proprietà di passaggio al limite per l'integrale di Lebesgue: teorema della convergenza monotona, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata. Approssimazione con retta dei minimi quadrati per funzioni di quadrato sommabile.
- Serie di Fourier: funzioni periodiche, funzioni armoniche elementari, polinomi trigonometrici, coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, funzioni regolari a tratti, nuclei di Dirichlet, prodotto di convoluzione, convergenza puntuale della serie di Fourier al valore regolarizzato della funzione. Metodi didattici
- Lezioni in aula con presentazione alla lavagna degli aspetti teorici, delle applicazioni e di esercizi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite un esame composto da una prova scritta e un colloquio orale.
- Nella prova scritta allo studente è richiesto di risolvere alcuni problemi ed esercizi relativi agli argomenti svolti: equazioni differenziali, successioni e serie di funzioni, calcolo differenziale per funzioni di più variabili, ricerca di massimi e minimi di funzioni di più variabili, integrali doppi e tripli, integrali curvilinei, integrali di superficie, serie di Fourier. Il tempo previsto per la prova scritta è di circa 3 ore. Non è consentito consultare testi, utilizzare PC, tablet o smartphone. Lo studente può utilizzare calcolatrici scientifiche tascabili purché non abbiamo capacità grafiche e non siano programmabili. Allo svolgimento della prova scritta è assegnato un punteggio espresso in trentesimi. Per superare la prova e poter accedere al colloquio orale è necessario ottenere un punteggio di almeno 15 punti.
- Nel colloquio orale allo studente sarà richiesto di presentare qualche aspetto di contenuti svolti durante il corso, illustrando alcune definizioni, esempi, proprietà, formule, teoremi, dimostrazioni, o applicazioni. Più che la conoscenza mnemonica degli argomenti, si vuole valutare la comprensione logica dei concetti, la precisione e il rigore del linguaggio matematico usato per descriverli e la capacità di cogliere la relazione tra gli aspetti astratti e le applicazioni concrete. Il tempo previsto per la prova orale è di circa 30 minuti. Se l'esito del colloquio non è ritenuto sufficiente lo studente potrà riprovarlo in una data successiva senza necessariamente dover ripetere la prova scritta.
Il voto finale, espresso in trentesimi, viene proposto al termine del colloquio orale e terrà conto di tutti gli elementi che permettono al docente di valutare la preparazione dello studente: la partecipazione attiva alle lezioni e/o al tutorato, la correttezza e completezza dello svolgimento della prova scritta, la qualità dell'esposizione nel colloquio orale.
Il superamento dell'esame è prova di aver acquisito le conoscenze e le abilità specificate negli obiettivi formativi dell'insegnamento. Testi di riferimento
- Testo di riferimento:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
Testi consigliati per approfondimento:
V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi Matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale: 2 (Apogeo)
E. Giusti: Analisi Matematica II (Boringhieri)
E. Giusti: Esercizi e complementi di Analisi Matematica II (Boringhieri)
W. Rudin: Principi di Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
G. De Marco: Analisi Matematica II (Zanichelli )
G. De Marco: Esercizi di analisi Matematica II (Zanichelli)
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica II (Zanichelli)
E.H. Lieb, M. Loss ; Analysis (American Mathematical Society)
E. Stein, R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton University Press)
